BIẾN ĐỔI FOURIER

 

Author: Ngô Minh Hồng Thái

Published date: 18/09/2021

1. LỜI NÓI ĐẦU:

Biến đổi Fourier là một trong những công cụ toán học cực kỳ hữu ích trong việc phân tích một hàm số hoặc một tín hiệu dưới dạng tổng của các hàm sin và cosin. Một trong những tính chất cực kỳ thú vị của hàm số hoặc tín hiệu là nó đều có thể được thực hiện được việc đó - phân tách dưới dạng tổng của các hàm sin hoặc cosin.

Hôm nay, TickLab xin được phép giới thiệu về biến đổi Fourier và ứng dụng của nó.

2. ỨNG DỤNG:

Biến đổi Fourier được ứng dụng có rất nhiều ứng dụng và được sử dụng rộng rãi ở đời sống hiện tại của chúng ta. Bây giờ, mình xin giới thiệu về một vài ứng dụng cụ thể của biến đổi Fourier trong các lĩnh vực khác nhau.

2.1 Viễn thông

Trong lý thuyết truyền thông, tín hiệu thường là dưới dạng điện áp, và lý thuyết về biến đổi Fourier là cần thiết để hiểu cách tín hiệu hoạt động khi nó đi qua các bộ lọc, bộ khuếch đại và các kênh giao tiếp. Hơn thế nữa, biến đổi Fourier đã và đang cải thiện cách chúng ta gửi và thu nhập dữ liệu.

2.2 Thiên văn học

Biến đổi Fourier còn được áp dụng cả trong lĩnh vực thiên văn học. Đôi khi, chúng ta không thể lấy toàn bộ thông tin từ một kính thiên văn thông thường mà phải gửi những thông tin đó thông qua sóng vô tuyến. Một ví dụ có thể kể đến đó là vệ tinh Magellan của NASA đã sử dụng kĩ thuật này trong truyền tin. Bên dưới đây là một vài tấm ảnh mà vệ tinh Magellan đã gửi về.

Hình 1: Hình ảnh được radar của Magellan thu lại ở vùng Boann Corona ở Sao Kim [8]. 

Hình 2: Độ phát xạ của bề mặt sao Kim được thu về bởi vệ tinh Magellan [9]. 

Một ví dụ nữa có thể kể đến việc sử dụng biến đổi Fourier trong các kính thiên văn vô tuyến để nghiên cứu các thiên thể thông qua các bức xạ vô tuyến. Cách thức hoạt động của các kính thiên văn đó được mô tả như hình bên dưới

Hình 3: Cách thức hoạt động của kính thiên văn vô tuyến. Đầu tiên, ăng-ten (antenna) nhận sóng vô tuyến (RF) đến từ các thiên thể. Sau đó, feedhorn gửi sóng điện từ đến máy thu (receiver) thông qua các ống dẫn sóng. Tiếp theo, máy thu biến đổi nó thành tần số trung gian (IF) bằng cách sử dụng bộ khuếch đại (amplifier) và bộ trộn (mixer). Cuối cùng, máy đo quang phổ (spectrometer) biến đổi sóng điện áp thành phổ công suất (power spectrum).

2.3 Địa chất học

Trong địa chất học, người ta sử dụng phương pháp thăm dò địa chấn phản xạ (Seismic reflection method) để cung cấp thông tin về cấu trúc dưới bề mặt của đáy biển. Đây là công cụ hàng đầu trong việc tìm kiếm và thăm dò dấu khí. Các biến đổi Fourier được sử dụng trong quá trình xử lí và phân tích số liệu thu được

Hình 4: Thăm dò địa chất phản xạ [10]. 

2.4 Quang học

Trong lĩnh vực quang học, quang học Fourier (Fourier optics) là nghiên cứu về quang học cổ điển sử dụng các phép biến đổi Fourier, trong đó dạng sóng đang được coi là được tạo thành từ sự kết hợp hoặc chồng chất của các sóng phẳng.

Hình 5: Nhiễu xạ của ánh sáng [6].

2.5 Y tế

Trong y tế, cụ thể hơn là trong quá trình chụp cộng hưởng từ (MRI), biến đổi Fourier được sử dụng như một kỹ thuật toán học cho phép phân tách tín hiệu MR thành tổng các sóng sin có tần số, pha và biên độ khác nhau.

Hình 6: Hình bên trái là dữ liệu MR thu được và hình bên phải là dữ liệu tái tạo lại hình ảnh não bộ con người [7]. 

3. MỘT VÀI KIẾN THỨC CƠ BẢN

Ở trong bài viết này, mình sẽ chủ yếu nói về việc sử dụng biến đổi Fourier trong phân tích tín hiệu từ miền thời gian về miền tần số và ngược lại. Trước khi bắt đầu, mình sẽ giới thiệu một vài nội dung căn bản:

Tín hiệu được định nghĩa là bất kỳ đại lượng vật lý nào thay đổi theo thời gian, không gian, hoặc là các biến phụ thuộc khác [1,2]. Về mặt toán học, chúng ta có biểu diễn tín hiệu dưới dạng hàm số phụ thuộc vào một hay nhiều biến độc lập. Để đơn giản, ở bài viết này, mình chỉ sử dụng tín hiệu là hàm số của biến thời gian.

Tín hiệu liên tục hay còn gọi là tín hiệu tương tự là tín hiệu được xác định cho mọi thời điểm của thời gian và nhận giá trị nằm trong khoảng liên tục (a, b) với a có thể là \(-\infty\) và b có thể là \(+\infty\) [1,2]. Đối với tín hiệu liên tục, ta sẽ biểu diễn bằng hàm số \(x(t)\).

Hình 7: Tín hiệu liên tục có dạng là hàm sin

Tín hiệu rời rạc là tín hiệu chỉ được xác định trong một số khoảng thời gian nhất định. Khoảng thời gian này không nhất thiết phải bằng nhau, tuy nhiên, trên thực tế, người ta thường lấy những khoảng đều nhau để dễ dàng cho việc tính toán [1,2]. Đối với tín hiệu rời rạc, ta sẽ biểu diễn bằng hàm số \(x(n)\).

 

Hình 8: Tín hiệu rời rạc có dạng hàm số sin

Một tín hiệu liên tục được xem là theo chu kỳ nếu như nó thỏa tính chất sau:

\[x(t + nT_p) = x(t) ~~n = ±1, ±2,.. \text{ (1)}\]

thì tín hiệu đó sẽ có chu kỳ là \(T_p\)

Tương tự đối với tín hiệu rời rạc. Nếu như tín hiệu không thỏa được tính chất đó, ta xem tín hiệu đó là tín hiệu bất chu kỳ [1,2].

Tần số của một tín hiệu có mối quan hệ với chu kỳ theo công thức bên dưới [1,2].

\[F_0 = \dfrac{1}{T_p}\text{ (2)}\]

Miền thời gian liên quan đến việc phân tích các hàm toán học, tín hiệu chỉ liên quan đến biến thời gian. Có thể hiểu đơn giản đó là sự thay đổi của đối tượng theo thời gian. [11]

Miền tần số liên quan đến việc phân tích các hàm toán học, tin hiệu liên quan đến việc phân tích tần số. Tín hiệu có thể được phân tách trở thành một vô hạn hay hữu hạn các thành phần tần số. Với sự phân tách đó, ta xem tín hiệu đó được biểu diễn ở miền tần số. [12]

4. NỘI DUNG

4.1. Chuỗi Fourier (Fourier Series):

Chuỗi Fourier cung cấp cho chúng ta một công cụ hiệu quả để phân tách các tín hiệu có chu kỳ dưới dạng tổng tuyến tính của các hàm số sin hoặc các hàm số mũ phức \(e^{i\phi}\).

4.1.1. Chuỗi Fourier đối với tín hiệu liên tục và theo chu kỳ

Để phân tách tín hiệu liên tục và theo chu kỳ dưới dạng tổng tuyến tính, ta áp dụng công thức tổng hợp như sau [1]:

\[x(t) = \displaystyle\sum_{k = -\infty}^{+\infty}c_ke^{i2\pi kF_0t} \text{ (3)}\]

với \(F_0\) là tần số của tín hiệu \(x(t)\).

Để tìm được các hệ số của chuỗi Fourier { \(c_k\)}, ta áp dụng công thức phân tích như sau [1]:

\[c_k = \dfrac{1}{T_p}\displaystyle\int_{T_p} x(t)e^{-i2\pi kF_0t} dt \text{ (4)}\]

với \(T_p\) là chu kỳ của tín hiệu \(x(t)\).

Để tìm hiểu cách chứng minh hai công thức trên, bạn có thể tìm đọc ở [1].

Nhìn nhận một cách tổng quan, ta thấy rằng hệ số của chuỗi Fourier { \(c_k\) có thể nhận giá trị là số phức. Để tổng quát hơn, ta sẽ qui ước như sau:

\[c_k = |c_k|e^{i\phi_k}\]

Do đó, nếu tín hiệu \(x(t)\) của chúng ta nhận giá trị là số thực, đối với các hệ số \(c_k\) ta sẽ có mối quan hệ như sau: \(c_{-k}\) là số phức liên hợp của \(c_{k}\). Nghĩa là:

\[c_{-k} = c_k^*= |c_k|e^{-i\phi_k}\]

Để ý là khi \(c_{−k}\) là số phức liên hợp của \(c_k\) , thì tổng của cặp giá trị \(c_ke^{i2\pi kF_0t}\)\(c_{-k}e^{i-2\pi kF_0t}\) sẽ có giá trị là số thực với mọi giá trị của \(k\) , do đó \(x(t)\) sẽ luôn nhận giá trị thực.

Khi đó, nếu tín hiệu \(x(t)\) là hàm số thực, ta có thể biểu diễn công thức tổng hợp dưới dạng như sau:

\[x(t) = c_0 + 2\displaystyle\sum^{\infty}_{k = 1} |c_k|cos(2\pi kF_0t + \phi_k) \text{ (5)}\]

với \(c_0\) là số thực.

Ta còn có thể thay đổi cách biểu diễn trên thành một dạng tổng quát hơn nữa:

\[x(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}(a_kcos2\pi kF_0t - b_ksin2\pi kF_0t) \text{ (6)}\]

với \(a_0 = c_0\) , \(a_k = 2|c_k|cos\phi_k\) , và \(b_k = 2|c_k|sin\phi_k\).

Ví dụ: Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành xác định chuỗi Fourier của đồ thị bên dưới đây:

Hình 9: Tín hiệu x(t) cần được xác định chuỗi Fourier

Áp dụng công thức (4) với cận từ \(−T_p /2\) cho tới \( T_p /2\) , ta có:

Với \(k = 0\)

\[c_0 = \dfrac{1}{T_p}\displaystyle\int_{-T_p/2}^{T_p/2} x(t) dt = \dfrac{1}{T_p}\displaystyle\int_{\tau/2}^{\tau/2} A dt = \dfrac{A\tau}{T_p}\]

Với \(k \neq 0\)

\[c_k = \dfrac{1}{T_p}\displaystyle
\int_{-T_p/2}^{T_p/2} x(t)e^{-i2\pi kF_0t} dt = \dfrac{1}{T_p}\displaystyle
\int_{-\tau/2}^{\tau/2} Ae^{-i2\pi kF_0t} dt\]

\[= \dfrac{A}{T_p} \Bigg[ \dfrac{e^{-i2\pi kF_0t}}{-i2\pi kF_0} \Bigg] \Bigg|_{-\tau/2}^{\tau/2} =
\dfrac{A}{T_p\pi kF_0} \dfrac{e^{i\pi kF_0\tau} - e^{-i\pi kF_0\tau}}{2i}
= \dfrac{A\tau}{T_p}\dfrac{sin(\pi kF_0\tau)}{\pi kF_0\tau}\]

\[= \dfrac{A\tau}{T_p}\dfrac{sin(\phi_k)}{\phi_k}\]

\[\text{Với }\phi_k = \pi kF_0\tau\]

Vậy, ta sẽ chọn \(A = 5\), \(F_0 = 4Hz\) , \(T_p = 0.25s\) và \(\tau = 0.2\), \(T_p = 0.05s\) . Do đó, ta có đồ thị \(∣c_k∣\) như bên dưới:

Hình 10: Đồ thị giá trị tuyệt đối của chuỗi Fourier của tín hiệu x(t)

4.1.2. Chuỗi Fourier đối với tín hiệu rời rạc và theo chu kỳ

Ta áp dụng công thức tổng hợp bên dưới để phân tích tín hiệu rời rạc và theo chu kỳ dưới dạng tổng tuyến tính [1]:

\[x(n) = \displaystyle\sum^{N-1}_{k=0}c_ke^{i2\pi kn/N} \text{ (7)}\]

với \(N\) là chu kỳ của tín hiệu \(x(n)\). Công thức trên còn được gọi với một cái tên gọi khác là chuỗi Fourier rời rạc (Discrete-time Fourier series - DTFS).

Để tìm giá trị của các hệ số trong chuỗi Fourier, ta áp dụng công thức phân tích như sau [1]:

\[c_k = \dfrac{1}{N}\displaystyle\sum^{N-1}_{n=0}x(n)e^{-i2\pi kn/N} \text{ (8)}\]

Để tìm hiểu cách chứng minh hai công thức trên, bạn có thể tìm đọc ở [1].

Để ý rằng, các hệ số của chuỗi Fourier rời rạc {\(c_k\) } cũng chu kỳ là \(N\) . Bằng một phép thế đơn giản, ta sẽ thu được tính chất trên như sau:

\[c_{k + N} = \dfrac{1}{N}\displaystyle\sum^{N-1}_{n=0}x(n)e^{-i2\pi (k+N)n/N}
= \dfrac{1}{N}\displaystyle\sum^{N-1}_{n=0}x(n)e^{-i2\pi kn/N} = c_k\]

Ví dụ: Tiếp theo, ta sẽ tiến hành xác định chuỗi Fourier của tín hiệu theo chu kỳ được biểu diễn bởi đồ thị bình dưới.

Hình 11: Tín hiệu x(n) cần được xác định chuỗi Fourier

Áp dụng công thức (8), ta có:

\[c_k = \dfrac{1}{N}\displaystyle\sum^{N-1}_{n=0}x(n)e^{-i2\pi kn/N} = \dfrac{1}{N}\displaystyle\sum^{L-1}_{n=0}Ae^{-i2\pi kn/N}\]

Có thể thấy đây là tổng cấp số nhân, nên ta có thể áp dụng công thức của tổng cấp số nhân:

\[c_k = \dfrac{A}{N}\displaystyle\sum^{L-1}_{n=0}\big(e^{-i2\pi k/N}\big)^n =
\begin{cases}
\dfrac{AL}{N}, & k = 0 \\
\dfrac{A}{N}\dfrac
{1 - e^{-i2\pi kL/N}}
{1 - e^{-i2\pi k/N}}
, & k = 1, 2, ..., N-1
\end{cases}\]

Lưu ý rằng, ta có thể biến đổi thêm nữa để việc tính toán được dễ dàng hơn:

\[\dfrac {1 - e^{-i2\pi kL/N}} {1 - e^{-i2\pi k/N}} = \dfrac{e^{-i\pi kL/N}}{e^{-i\pi k/N}} \dfrac{e^{i\pi kL/N}- e^{-i\pi kL/N}}{e^{i\pi k/N}- e^{-i\pi k/N}} = e^{-i\pi k(L-1)/N}\dfrac{sin(\pi kL/N)}{sin(\pi k/N)}\]

Thêm một chú ý nữa là chuỗi {\(c_k\) } có chu kỳ là \(N\). Tổng hợp lại, ta có kết quả cuối cùng là:

\[c_k = \begin{cases} \dfrac{AL}{N}, & k = 0, ±N, ±2N,... \\\\ \dfrac{A}{N}e^{-i\pi k(L-1)/N}\dfrac{sin(\pi kL/N)}{sin(\pi k/N)} , & \text{trong các trường hợp khác} \end{cases}\]

Lưu ý rằng, chuỗi {\(c_k\) } là chuỗi nhận giá trị là số phức, nên ta sẽ biểu diễn \(c_k\) dưới dạng sau:

\[|c_k|e^{\measuredangle c_k}\]

Nên, ta có thêm hai công thức bên dưới:

\[|c_k| = \begin{cases} \dfrac{|A|L}{N}, & k = 0, ±N, ±2N,... \\\\ \dfrac{|A|}{N}\Bigg|\dfrac{sin(\pi kL/N)}{sin(\pi k/N)}\Bigg| , & \text{trong các trường hợp khác} \end{cases}\]

\[\measuredangle c_k = \measuredangle A - \pi k(L-1) + \measuredangle \dfrac{sin(\pi kL/N)}{sin(\pi k/N)}\]

Ở đây, ta chọn \(A = 1\), \(L = 5\) và \(N = 20\). Khi đó, ta có đồ thị \(|c_k|\) như bên dưới:

Hình 12: Đồ thị giá trị tuyệt đối của chuỗi Fourier của tín hiệu x(n)

4.2. Biến đổi Fourier (Fourier Transform):

Biến đổi Fourier cung cấp cho chúng ta một công cụ tuyệt vờ để phân tách các tín hiệu bất chu kỳ dưới dạng tổng tuyến tính của các hàm số sin hoặc các hàm số mũ phức \(e^{i\phi}\) .

4.2.1. Biến đổi Fourier đối với tín hiệu liên tục và bất chu kỳ

Ta áp dụng công thức tổng hợp sau để phân tách tín hiệu x(t) dưới dạng tổng tuyến tính [1]:

\[x(t) = \displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}X(F)e^{i2\pi Ft}dF \text{ (9)}\]

Công thức này còn có tên gọi khác là công thức biến đổi Fourier ngược.

Công thức phân tích được cho như sau [1]:

\[X(F) = \displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}x(t)e^{-i2\pi Ft}dt \text{ (10)}\]

Tên gọi khác của công thức này là công thức biến đổi Fourier.

Ví dụ: Tiếp theo, chúng ta sẽ tiến hành xác định biến đổi Fourier của tín hiệu sau:

\[x(t) = \begin{cases}
A, & |t| \leq \tau/2 \\
0, & |t| > \tau/2
\end{cases}\]

và được biểu diễn bởi hình bên dưới:

Hình 13: Tín hiệu x(t) cần xác định biến đổi Fourier

Áp dụng công thức (10), ta có:

\[X(F) = \displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}x(t)e^{-i2\pi Ft}dt =
\int^{\tau/2}_{-\tau/2}Ae^{-i2\pi Ft}dt\]

Với \(F = 0\):

\[X(F) = A\tau\]

Với \(F \neq 0\):

\[X(F)= \dfrac{Ae^{-i2\pi Ft}}{-i2\pi F}\Bigg|^{\tau/2}_{-\tau/2}
= \dfrac{A}{\pi F} \dfrac{e^{i\pi F\tau} - e^{-i\pi F\tau}}{2i}
= A\tau\dfrac{sin(\pi F\tau)}{\pi F \tau}\]

\[= A\tau\dfrac{sin(\phi_F)}{\phi_F}\]

với \(\phi_F = \pi F\tau\)

Ở đây, ta chọn \(A = 1, \tau = 0.2s\). Khi đó, ta có đồ thị của \(|X(F)|\) như sau:

Hình 14: Đồ thị giá trị tuyệt đối của biến đổi Fourier của tín hiệu \(x(n)\)

4.2.2. Biến đổi Fourier đối với tín hiệu rời rạc và bất chu kỳ

Đối với tín hiệu rời rạc và bất chu kỳ, ta lần lượt có công thức tổng hợp là [1]:

\[x(n) = \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{2\pi}X(\omega)e^{i\omega n}d\omega \text{ (11)}\]

Và công thức phân tích là [1]:

\[X(\omega) = \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{-i\omega n} \text{ (12)}\]

Để ý rằng, X(ω) có chu kỳ là 2π . Ta có thể thu được bằng phương trình bên dưới:

\[X(\omega + 2\pi) = \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{-i(\omega + 2\pi) n}
= \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{-i\omega n}
= X(\omega) \]

Đây là hệ quả của việc tần số của các tín hiệu rời rạc ω bị giới hạn trong khoảng từ \((π, −π)\) hoặc \((0, 2π)\) và bất kỳ tần số nào bên ngoài khoảng này đều bị làm giả (alias) và tương đương với tần số khác nằm trong khoảng trên.

Ví dụ: Tiếp tục, chúng ta sẽ tiến hành xác định biến đổi Fourier của chuỗi sau:

\[x(n) = \begin{cases}
A, & 0 \leq n \leq L-1\\
0, & n < 0~ \text{hoặc} ~n > L - 1
\end{cases}\]

và được biểu diễn bởi hình bên dưới.

Hình 15: Tín hiệu x(n) cần xác định biến đổi Fourier

Áp dụng công thức (12), ta có:

\[X(\omega) = \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{-i\omega n}
= \sum_{n=0}^{L-1}Ae^{-i\omega n}\]

Tương tự, đây cũng là tổng một cấp số nhân, do đó:

\[X(\omega) =
\begin{cases}
AL, & \omega = 0 \\\\
A\dfrac{1-e^{-i\omega L}}{1-e^{-i\omega }} = Ae^{-i(\omega /2)(L-1)}\dfrac{sin(\omega L/2)}{sin(\omega/2)}
, & \text{trong các trường hợp khác}
\end{cases}\]

Dĩ nhiên, do \(X(\omega)\) nhận giá trị là số phức, nên ta có thể biểu diễn như sau:

\[X(\omega) = |X(\omega)|e^{\measuredangle X(\omega)}\]

Nên, ta có thêm hai công thức bên dưới:

\[|X(\omega)| =
\begin{cases}
|A|L, & \omega = 0 \\\\
|A|\Bigg|\dfrac{sin(\omega L/2)}{sin(\omega/2)}\Bigg|
, & \text{trong các trường hợp khác}
\end{cases}\]

\[\measuredangle X(\omega) = \measuredangle A - \dfrac \omega 2(L-1) + \measuredangle \dfrac{sin(\omega L/2)}{sin(\omega/2)}\]

Ở đây, ta chọn \(A = 1, \tau = 0.2s\). Khi đó, ta có đồ thị của \(|X(\omega)|\) như sau:

Hình 16: Đồ thị giá trị tuyệt đối của biến đổi Fourier của tín hiệu x(n)

5. TỔNG KẾT

Biến đổi Fourier được ứng dụng cực kỳ nhiều trong các lĩnh vực của cuộc sống từ toán học, vật lý, xử lý tín hiệu và hình ảnh cho tới địa chất, thiên văn, viễn thông và y tế. Có thể thấy rằng, biến đổi Fourier là cực kỳ hữu ích và cần thiết. Chuỗi Fourier và biến đổi Fourier cung cấp một công cụ toán học tuyệt vời trong việc phân tích đặc tính của tín hiệu trong miền tần số. Tuy nhiên, vẫn có những ràng buộc trong việc sử dụng những công cụ này. Hãy lựa chọn phương pháp phù hợp trong các tình huống khác nhau nhé. Để tìm hiểu thêm về biến đổi Fourier, bạn có thể đọc thêm ở phần Tham khảo ở bên dưới để có thêm những kiến thức thú vị về biến đổi Fourier nhé.

6. THAM KHẢO:

[1] Proakis, J. and Manolakis, D., 2007. Digital signal processing. 4th ed. Upper Saddle River, N.J.: Prentice-Hall.
[2] Shin, K. and Hammond, J., 2008. Fundamentals of signal processing for sound and vibration engineers. England: John Wiley & Sons.
[3] Nakahara, H., Nakanishi, H. and Sasao, T., 2012. On a wideband fast fourier transform for a radio telescope. ACM SIGARCH Computer Architecture News, 40(5), pp.46-51.
[4] W.astro.berkeley.edu. 2021. Applications for Fourier. [online] Available at: https://w.astro.berkeley.edu/~jrg/ngst/fft/applicns.html [Accessed 6 September 2021].
[5] Bevelacqua, P., 2021. Fourier Transform Applications: Radiation from Electric Currents. [online] Thefouriertransform.com. Available at: https://www.thefouriertransform.com/applications/radiation.php [Accessed 6 September 2021].
[6] En.wikipedia.org. 2021. Fourier optics - Wikipedia. [online] Available at: https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_optics [Accessed 6 September 2021].
[7] NVIDIA Developer. 2021. Chapter 48. Medical Image Reconstruction with the FFT. [online] Available at: https://developer.nvidia.com/gpugems/gpugems2/part-vi- simulation-and-numerical-algorithms/chapter-48-medical-image-reconstruction [Accessed 6 September 2021].
[8] Nssdc.gsfc.nasa.gov. 2021. Venus - Magellan. [online] Available at: https://nssdc.gsfc.nasa.gov/imgcat/html/object_page/mgn_c130n135_1.html [Accessed 6 September 2021].
[9] Nssdc.gsfc.nasa.gov. 2021. NSSDCA Photo Gallery: Venus. [online] Available at: https://nssdc.gsfc.nasa.gov/photo_gallery/photogallery-venus.html [Accessed 6 September 2021].
[10] Scarselli, N., Adam, J. and Chiarella, D., n.d. Regional geology and tectonics. 2nd ed. pp.571-601.


Print   Email

Add comment